Monotonicidade do valor crítico em modelos de percolação e de Ising

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dc.contributor.advisorAtman, Allbens
dc.contributor.advisor-coLima, Bernardo Nunes Borges de
dc.contributor.advisor-coLatteshttp://lattes.cnpq.br/6614000692805715
dc.contributor.advisorLatteshttp://lattes.cnpq.br/4216801992845696
dc.contributor.authorAmaral, Charles Souza do
dc.contributor.authorLatteshttp://lattes.cnpq.br/1202901189979381
dc.contributor.refereeFaria, Allbens Atman Picardi
dc.contributor.refereeLima, Bernardo Nunes Borges de
dc.contributor.refereeDickman, Ronald
dc.contributor.refereeSilva, Roger William Câmara
dc.contributor.refereeMagalhães, Arthur Rodrigo Bosco de
dc.contributor.refereeMattos, Thiago Gomes de
dc.date.accessioned2025-04-16T14:25:10Z
dc.date.available2025-04-16T14:25:10Z
dc.date.issued2021-09-14
dc.description.abstractModelos de percolação e de Ising possuem aplicações em diversas áreas das ciências e estão entre os modelos mais estudados na Mecânica Estatística. Eles exibem uma transição de fase e a determinação do valor crítico no qual ela ocorre é uma das principais questões relacionadas a esses modelos. O presente trabalho tem como objetivo estudar três modelos, dois de percolação e um de Ising, em que o valor crítico varia em função de algum parâmetro. O primeiro modelo apresentado é o Modelo de Percolação com Múltiplos Alcances (MPMA). Nele consideramos o modelo clássico de percolação na rede hipercúbica Lº e adicionamos elos de tamanhos mi, ma, ..., mn, paralelos a cada eixo coordenado, de forma que os tamanhos dos elos maiores sejam múltiplos dos menores e m, > 1 para todo Há resultado analítico mostrando que o ponto crítico desse modelo converge para o do modelo clássico na rede hipercúbica Lº+1) quando m, — co para todo i. Nós encontramos evidências numéricas de que, se d = 2, essa convergência é monótona e segue uma lei de potência quando n = 1 e n = 2. Com o intuito de verificar se a convergência relacionada ao ponto crítico no MPMA também ocorre em outros modelos que exibem transição de fase, estudamos o Modelo de Ising com Múltiplos Alcances, que é definido de forma similar ao MPMA. Nós verificamos que, se analisarmos a temperatura crítica ao invés do ponto crítico, também ocorrerá a convergência para as mesmas situações estudadas no MPMA. Por fim, também estudamos o Modelo de Percolação com Grau Restrito (MPGR). Nele, tentamos abrir os elos do grafo em uma ordem aleatória que é definida previamente. Cada elo é aberto se satisfizer uma determinada restrição que depende de um parâmetro k. Esse modelo possui aplicações no estudo de dímeros e polímeros e o simulamos na rede hipercúbica 1º para d E (2,3,4). Através de uma análise numérica, nós mostramos que o valor crítico do modelo decresce em função da restrição k. Além disso, encontramos evidências de que o MPGR está na mesma classe de universalidade que o modelo clássico de percolação.
dc.description.abstractotherPercolation and Tsing models have applications in several areas of science and are among the most studied models in Statistical Mechanics. They exhibit a phase transition and determining the critical value at which it occurs is one of the main issues related to these models. The aim of this work is to study three models, two percolation and one Ising, in which the critical value varies as a function of some parameter. The first model presented is the Multirange Percolation Model (MPM), in which we consider the classic model of percolation in the hypercubic lattice L¢ and add bonds of sizes my, my, ..., my, parallel to each coordinate axis, so that the sizes of the larger bonds are multiples of the smaller ones, and m; > 1 for all i. There is an analytical result showing that the critical point of this model converges to that of the classical model in the hypercubic lattice Lit+) when m; — oo for all i. We find numerical evidence that, if d = 2, this convergence is monotonous and follows a power law when n = 1 and n = 2. In order to verify whether the convergence related to the critical point in the MPM also occurs in other models that exhibit phase transition, we studied the Multirange Ising Model, which is defined similarly to the MPM. We verified that, if we analyze the critical temperature instead of the critical point, convergence will also occur for the same situations studied in the MPM. Finally, we also study the Constrained-Degree Percolation Model (CDPM). In it, we try to open the bonds of the graph in a random order that is previously defined. Each bond is opened if it satisfies a certain constraint that depends on a parameter k. This model has applications in the study of dimers and polymers and we simulate it in the hypercubic lattice [4 for d € {2,3,4}. Through a numerical analysis, we show that the critical value of the model decreases as a function of the constraint k. Furthermore, we found evidence that the CDPM is in the same universality class as the classical Ising model.
dc.identifier.urihttps://repositorio.cefetmg.br//handle/123456789/1228
dc.language.isopt
dc.publisherCentro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais
dc.publisher.countryBrasil
dc.publisher.initialsCEFET-MG
dc.publisher.programPrograma de Pós-Graduação em Modelagem Matemática e Computacional
dc.subjectModelos matemáticos
dc.subjectAnálise numérica
dc.subjectFísica matemática
dc.subjectModelo de Ising
dc.titleMonotonicidade do valor crítico em modelos de percolação e de Ising
dc.typeTese

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